三方八面体

September 24, 2010, 10:49 pm

≫ Next: 同相双三角台塔

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今回はカタランの立体です。

切頂六面体の双対でございます。

正八面体の中心を3つに分けて持ち上げたような形です。

構成面：二等辺三角形24枚

辺：36

頂点：14

そろそろ手書きだけでは書けないものが近づいてきている感があります・・・

この二等辺三角形の低角は約31.4度、頂角は約117.2度です。

辺の比率は

1：1：(2+√2)/2

です。

書いてみました。

正方形を書いて対角線を引く。

対角線同士の交点から正方形の一辺の長さだけ延長する。

延長した辺を底辺とし、正方形の一辺を両端からとり結ぶ。

こんな面倒なやり方で得ましたがもっと簡単な方法があるかもしれません。

二面角が非常に大きいところがあって、ほぼ平面にも見えます。

菱形十二面体に見えてしまいますかね。

面がわかりやすく写真を撮るコツをなかなかつかめません。

展開図

多分次回はジョンソンの立体

ジョンソンとその他で交互に作っていく予定です。

---

同相双三角台塔

October 10, 2010, 7:41 pm

≫ Next: 菱形十二面体第二種

≪ Previous: 三方八面体

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ジョンソンの立体27番です。

J27～J34　は台塔・丸塔をくっつけて作るものです。

J35からはその間に角柱・反角柱をはさめるので大変です。

構成面：正三角形8枚、正方形6枚

辺：24

頂点：12

この立体を二つの正三角台塔としてみると正三角形、正方形が対象にくっついているのでこれは同相です。

異相は立方八面体になります。

この画像わかりずらいかもしれません・・・

左が異相（立方八面体）、右が同相です。

写真撮ってませんが見る場所によっては立方八面体とまったく同じに見えるところがあります。

展開図

ジョンソンの立体は特徴がすくないものは説明があまりできませんね

菱形十二面体第二種

November 13, 2010, 6:30 pm

≫ Next: 同相双四角台塔

≪ Previous: 同相双三角台塔

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お久しぶりです！！

やっと更新できましたよ。

菱形十二面体第二種です。

第一種とは菱形の形状が違います。

一種の菱形は対角線比が白銀比です。

でもこちらは黄金比となっています。

構成面：黄金菱形12枚

辺：24

頂点：14

さらにこの立体は空間充填できますね。

黄金菱形を使った多面体は他にもいくつかあるので時間があれば作りたいと思います。

視点によって見え方が変わります。

かなり平べったいです

次回はジョンソンになると思います。

その次はちょっと変わった空間充填立体を発見したので紹介しますね。

同相双四角台塔

November 19, 2010, 6:29 pm

≫ Next: 空間充填立体　「Bisymmetric hendecahedron」

≪ Previous: 菱形十二面体第二種

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ジョンソンの立体28番

構成面：正三角形8枚、正方形10枚

辺：32

頂点：16

名前の通り正四角台塔を同相でくっつけた形です。

間に正八角柱をはさむと斜方立方八面体になりますね。

展開図

次回は前回言った空間充填立体です。

空間充填立体　「Bisymmetric hendecahedron」

November 20, 2010, 7:49 pm

≫ Next: 異相双四角台塔

≪ Previous: 同相双四角台塔

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最近、空間充填立体にすごく興味を持ちます。

4～38面体まではすべて凸の単独で空間充填する立体が存在することがわかっていることを知りました。

平面充填なら角度だけを考えればよいのですが、空間になるとそれが二面角になるので計算が難しくなります。

ましてや、そのような計算をする能力は自分にはありません・・・・

いろいろ調べていたら、とある海外のサイトを見つけました。

そこにはみたことのない立体がいくつかあったのです。

今回紹介するのは、そのうちのひとつです。

構成面が複雑ですね。

構成面：二等辺三角形4枚、正方形1枚、菱形2枚、凧形4枚

頂点：11

辺：20

11面体です。珍しいですよね。

この立体は空間充填することができます。

2個くっつけると・・・

3個くっつけると・・・

4個くっつけると・・・

続きは自分でやってみてください！！

展開図はこちらでPDFが公開されています。

次回はJ29ですね。

その次はどうしようかな～♪

異相双四角台塔

December 4, 2010, 6:28 pm

≫ Next: 大星型十二面体

≪ Previous: 空間充填立体　「Bisymmetric hendecahedron」

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ジョンソンの立体29番

構成面：正三角形8枚、正方形10枚

辺：32

頂点：16

二つの正四角台塔を異相でくっつけた形です。

その二つの台塔の間に正八角柱をはさむとミラーの立体になりますね。

もう同相と異相の違いはわかりましたかね？

左が今回の異相、右が同相です。

展開図

次回は星型か半正多面体になりそうです。

大星型十二面体

December 30, 2010, 12:09 am

≫ Next: 切頂二十面体

≪ Previous: 異相双四角台塔

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大星型十二面体

今回は星型正多面体です。

構成面：星型五角形12枚

辺：30

頂点：20

この立体は大星型十二面体とともにケプラーによって発見されました。

正十二面体の星型でもありますね。

さらに頂点も正十二面体の頂点に対応しているのがわかりますね。

この立体はこのように正二十面体の各面に正三角錐をつけて作りました。

しかし見た目にだまされてはいけません。

この立体の構成面は星型五角形（5/2角形）なのです。

一応画像はありますが、わかりづらいかもしれません・・・

わかりますか？　星の形が見えればもうわかりましたね？

このような星型五角形が3つずつ各頂点に集まっていると考えます。

色分けしたらさらにわかりやすいと思います。

でも、できれば作ってみてください。それが一番理解できる方法だと思っています。

作り方は上にも書きましたが正二十面体に正三角錐20個をくっつけたら簡単ですよ。

この正三角錐ですが・・・

これは　底角36度　頂角72度　です。

そして二等辺三角形の辺の比は Φ：Φ：1　となっています。

この比は黄金比です。

最後の最後で画像の大きさがおかしくなってしまいました・・・・

多分これで今年の更新は最後になると思います。

更新頻度がかなり低くなってしまうことも多かったですが、

見守ってくれた方々に感謝です。

そして2011年もよろしくお願いします！！

切頂二十面体

January 22, 2011, 12:30 am

≫ Next: 空間充填立体 「Elongated sphenoid hendecahedron」

≪ Previous: 大星型十二面体

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あけましておめでとうございます！！

今年初投稿ですね～

最初は何の立体にしようか迷ってましたが、まだ作ってなかったこの立体にしました。

半正多面体もまだまだ作ってませんでしたね。

その理由はやはり展開図が大きくなるからでしょう・・・

面の数や形状が複雑になってくると一枚の紙にはどうしても収まりきらなくなってしまいます。

小さくすればいいのかもしれませんが、自分の技術だと２センチが限界のようです。

そこで、展開図を必ずしも一つにはせずに複数にして作ってみました。

二面角が大きくなると多角形同士のすきまが小さくなって作りずらいので一石二鳥ですね。

構成面：正五角形12枚、正六角形20枚

辺：90

頂点：60

見ての通りサッカーボールです。

正二十面体の頂点をすべての面が正多角形になるように切り取った形です。

この立体調べてみるとサッカーボール以外にもいろいろ存在しているみたいです。

C60で表される炭素の同素体の『フラーレン』

原爆で使われる『爆縮レンズ』

などです。　どちらもよくわかりませんでした・・・

これからしばらくは更新ができない状態が続くと思われます。

必ず夏までには復活してみせますので、どうかよろしくお願いします。

---

空間充填立体 「Elongated sphenoid hendecahedron」

February 20, 2011, 3:29 am

≫ Next: 斜方切頂立方八面体

≪ Previous: 切頂二十面体

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久しぶりに更新できました。

思ったほど更新できなくもないかもしれません。

これもまたとある海外のサイトで見つけた立体です。

構成面：六角形1枚、台形 2×2 枚、凧形 3×2 枚

頂点：14

辺：23

11面体です。　そういえば前回も11面体でしたね。

さっきのサイトではあと２種類紹介されていました。

この立体は平行六辺形一枚、二種類の台形が二枚ずつ、三種類の凧形が二枚ずつで構成されています。

六角形は等辺なのかは測ってないのでわかりません・・・・

この立体は面対称で、対称面がひとつだけあります。

2個くっつけると・・・

3個くっつけると・・・

4個くっつけると・・・

5個くっつけると・・・

続きは自分でやってみてください！！

展開図はこちらでPDFが公開されています。

斜方切頂立方八面体

March 18, 2011, 10:19 pm

≫ Next: 三方八面体

≪ Previous: 空間充填立体 「Elongated sphenoid hendecahedron」

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お久しぶりです！！

地震、すごかったようですね～

みなさん、無事でしょうか？？

こんな大惨事の中、のんきに更新するわけですが・・・

今回は大菱形立方八面体を紹介します。

構成面：正方形12枚、正六角形8枚、正八角形6枚

辺：72

頂点：48

この、「大菱形立方八面体」という名前は各面をみていくとわかるでしょう。

正八角形×6 は立方体

正六角形×8 は正八面体

正方形×12　は菱形十二面体

このように位置関係が対応してます。

「斜方切頂立方八面体」というのは

立方体を切陵して、さらに切頂することで得られるからでしょう。

すべての辺がを同じ長さにするように変形するのは難しそうですがね。

この立体の展開図は一枚の紙に収まらなかったので、展開図を2枚に分けて作りました。

次回からはジョンソンの立体も再開していきます。

これからもよろしくお願いします！！

最後に

宣伝していただいたのでお返しを・・・

友達のYuhixさんのブログ

こちらもよろしくお願いします！！

三方八面体

September 24, 2010, 10:49 pm

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今回はカタランの立体です。

切頂六面体の双対でございます。

正八面体の中心を3つに分けて持ち上げたような形です。

構成面：二等辺三角形24枚

辺：36

頂点：14

そろそろ手書きだけでは書けないものが近づいてきている感があります・・・

この二等辺三角形の低角は約31.4度、頂角は約117.2度です。

辺の比率は

1：1：(2+√2)/2

です。

書いてみました。

正方形を書いて対角線を引く。

対角線同士の交点から正方形の一辺の長さだけ延長する。

延長した辺を底辺とし、正方形の一辺を両端からとり結ぶ。

こんな面倒なやり方で得ましたがもっと簡単な方法があるかもしれません。

二面角が非常に大きいところがあって、ほぼ平面にも見えます。

菱形十二面体に見えてしまいますかね。

面がわかりやすく写真を撮るコツをなかなかつかめません。

展開図

多分次回はジョンソンの立体

ジョンソンとその他で交互に作っていく予定です。

同相双三角台塔

October 10, 2010, 7:41 pm

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ジョンソンの立体27番です。

J27～J34　は台塔・丸塔をくっつけて作るものです。

J35からはその間に角柱・反角柱をはさめるので大変です。

構成面：正三角形8枚、正方形6枚

辺：24

頂点：12

この立体を二つの正三角台塔としてみると正三角形、正方形が対象にくっついているのでこれは同相です。

異相は立方八面体になります。

この画像わかりずらいかもしれません・・・

左が異相（立方八面体）、右が同相です。

写真撮ってませんが見る場所によっては立方八面体とまったく同じに見えるところがあります。

展開図

ジョンソンの立体は特徴がすくないものは説明があまりできませんね

菱形十二面体第二種

November 13, 2010, 6:30 pm

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お久しぶりです！！

やっと更新できましたよ。

菱形十二面体第二種です。

第一種とは菱形の形状が違います。

一種の菱形は対角線比が白銀比です。

でもこちらは黄金比となっています。

構成面：黄金菱形12枚

辺：24

頂点：14

さらにこの立体は空間充填できますね。

黄金菱形を使った多面体は他にもいくつかあるので時間があれば作りたいと思います。

視点によって見え方が変わります。

かなり平べったいです

次回はジョンソンになると思います。

その次はちょっと変わった空間充填立体を発見したので紹介しますね。

同相双四角台塔

November 19, 2010, 6:29 pm

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ジョンソンの立体28番

構成面：正三角形8枚、正方形10枚

辺：32

頂点：16

名前の通り正四角台塔を同相でくっつけた形です。

間に正八角柱をはさむと斜方立方八面体になりますね。

展開図

次回は前回言った空間充填立体です。

空間充填立体　「Bisymmetric hendecahedron」

November 20, 2010, 7:49 pm

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最近、空間充填立体にすごく興味を持ちます。

4～38面体まではすべて凸の単独で空間充填する立体が存在することがわかっていることを知りました。

平面充填なら角度だけを考えればよいのですが、空間になるとそれが二面角になるので計算が難しくなります。

ましてや、そのような計算をする能力は自分にはありません・・・・

いろいろ調べていたら、とある海外のサイトを見つけました。

そこにはみたことのない立体がいくつかあったのです。

今回紹介するのは、そのうちのひとつです。

構成面が複雑ですね。

構成面：二等辺三角形4枚、正方形1枚、菱形2枚、凧形4枚

頂点：11

辺：20

11面体です。珍しいですよね。

この立体は空間充填することができます。

2個くっつけると・・・

3個くっつけると・・・

4個くっつけると・・・

続きは自分でやってみてください！！

展開図はこちらでPDFが公開されています。

次回はJ29ですね。

その次はどうしようかな～♪

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異相双四角台塔

December 4, 2010, 6:28 pm

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ジョンソンの立体29番

構成面：正三角形8枚、正方形10枚

辺：32

頂点：16

二つの正四角台塔を異相でくっつけた形です。

その二つの台塔の間に正八角柱をはさむとミラーの立体になりますね。

もう同相と異相の違いはわかりましたかね？

左が今回の異相、右が同相です。

展開図

次回は星型か半正多面体になりそうです。

大星型十二面体

December 30, 2010, 12:09 am

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大星型十二面体

今回は星型正多面体です。

構成面：星型五角形12枚

辺：30

頂点：20

この立体は大星型十二面体とともにケプラーによって発見されました。

正十二面体の星型でもありますね。

さらに頂点も正十二面体の頂点に対応しているのがわかりますね。

この立体はこのように正二十面体の各面に正三角錐をつけて作りました。

しかし見た目にだまされてはいけません。

この立体の構成面は星型五角形（5/2角形）なのです。

一応画像はありますが、わかりづらいかもしれません・・・

わかりますか？　星の形が見えればもうわかりましたね？

このような星型五角形が3つずつ各頂点に集まっていると考えます。

色分けしたらさらにわかりやすいと思います。

でも、できれば作ってみてください。それが一番理解できる方法だと思っています。

作り方は上にも書きましたが正二十面体に正三角錐20個をくっつけたら簡単ですよ。

この正三角錐ですが・・・

これは　底角36度　頂角72度　です。

そして二等辺三角形の辺の比は Φ：Φ：1　となっています。

この比は黄金比です。

最後の最後で画像の大きさがおかしくなってしまいました・・・・

多分これで今年の更新は最後になると思います。

更新頻度がかなり低くなってしまうことも多かったですが、

見守ってくれた方々に感謝です。

そして2011年もよろしくお願いします！！

切頂二十面体

January 22, 2011, 12:30 am

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あけましておめでとうございます！！

今年初投稿ですね～

最初は何の立体にしようか迷ってましたが、まだ作ってなかったこの立体にしました。

半正多面体もまだまだ作ってませんでしたね。

その理由はやはり展開図が大きくなるからでしょう・・・

面の数や形状が複雑になってくると一枚の紙にはどうしても収まりきらなくなってしまいます。

小さくすればいいのかもしれませんが、自分の技術だと２センチが限界のようです。

そこで、展開図を必ずしも一つにはせずに複数にして作ってみました。

二面角が大きくなると多角形同士のすきまが小さくなって作りずらいので一石二鳥ですね。

構成面：正五角形12枚、正六角形20枚

辺：90

頂点：60

見ての通りサッカーボールです。

正二十面体の頂点をすべての面が正多角形になるように切り取った形です。

この立体調べてみるとサッカーボール以外にもいろいろ存在しているみたいです。

C60で表される炭素の同素体の『フラーレン』

原爆で使われる『爆縮レンズ』

などです。　どちらもよくわかりませんでした・・・

これからしばらくは更新ができない状態が続くと思われます。

必ず夏までには復活してみせますので、どうかよろしくお願いします。

空間充填立体 「Elongated sphenoid hendecahedron」

February 20, 2011, 3:29 am

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久しぶりに更新できました。

思ったほど更新できなくもないかもしれません。

これもまたとある海外のサイトで見つけた立体です。

構成面：六角形1枚、台形 2×2 枚、凧形 3×2 枚

頂点：14

辺：23

11面体です。　そういえば前回も11面体でしたね。

さっきのサイトではあと２種類紹介されていました。

この立体は平行六辺形一枚、二種類の台形が二枚ずつ、三種類の凧形が二枚ずつで構成されています。

六角形は等辺なのかは測ってないのでわかりません・・・・

この立体は面対称で、対称面がひとつだけあります。

2個くっつけると・・・

3個くっつけると・・・

4個くっつけると・・・

5個くっつけると・・・

続きは自分でやってみてください！！

展開図はこちらでPDFが公開されています。

斜方切頂立方八面体

March 18, 2011, 10:19 pm

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お久しぶりです！！

地震、すごかったようですね～

みなさん、無事でしょうか？？

こんな大惨事の中、のんきに更新するわけですが・・・

今回は大菱形立方八面体を紹介します。

構成面：正方形12枚、正六角形8枚、正八角形6枚

辺：72

頂点：48

この、「大菱形立方八面体」という名前は各面をみていくとわかるでしょう。

正八角形×6 は立方体

正六角形×8 は正八面体

正方形×12　は菱形十二面体

このように位置関係が対応してます。

「斜方切頂立方八面体」というのは

立方体を切陵して、さらに切頂することで得られるからでしょう。

すべての辺がを同じ長さにするように変形するのは難しそうですがね。

この立体の展開図は一枚の紙に収まらなかったので、展開図を2枚に分けて作りました。

次回からはジョンソンの立体も再開していきます。

これからもよろしくお願いします！！

最後に

宣伝していただいたのでお返しを・・・

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こちらもよろしくお願いします！！